BAHAN AJAR BAB 1 MATRIKS

BAHAN AJAR MATERI MATRIKS
ALJABAR LINEAR 1

TINJAUAN MATA KULIAH
Deskripsi Mata Kuliah
Mata kuliah ini mempelajari tentang definisi matriks, hasil penjumlahan matriks, hasil perkalian matriks, hasil perkalian matriks dengan vektor kolom, hasil perkalian vektor baris dengan matriks, hasil pembagian dengan matriks, bentuk umum SPL, matriks yang diperbesar dari SPL, matrik elementer, HP dengan operasi baris Elementer, HP SPL dengan Eliminasi Gauss, HP dari SPL homogen, fungsi determinan, sifat-sifat determinan, menghitung determinan dengan reduksi baris, ekspansi minor dan kofaktor, aturan cremer.

Manfaat Mata Kuliah
Mahasiswa dapat menerapkan ilmu aljabar linear dalam kehidupan sehari-hari dan dapat diaplikasikan dalam pekerjaannya, sesuai bidang ilmunya yaitu sebagai tenaga pendidik.

Standar Kompetensi
Mahasiswa mampu menguasai konsep-konsep aljabar linear dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan linearnya.

Kompetensi Dasar
Menentukan definisi matrik
Menentukan HP Sistem Persaman Linier
Menentukan Determinan

BAB I
MATRIKS

PENDAHULUAN
Cakupan umum mengenai bab 1
Bab 1 ini akan membahas tentang materi Matriks
Deskripsi singkat
Mata kuliah ini mempelajari tentang definisi matriks, hasil penjumlahan matriks,
hasil perkalian matriks, hasil perkalian matriks dengan vektor kolom, hasil perkalian vektor baris dengan matriks, hasil pembagian dengan matriks, jenis-jenis matriks dan matriks elementer.
Relevansi
Mahasiswa dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan linearnya.
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa menyebutkan definisi matriks
Mahasiswa menentukan hasil penjumlahan matriks
Mahasiswa menentukan hasil perkalian matriks
Mahasiswa menentukan hasil perkalian matriks dengan vektor kolom
Mahasiswa menentukan hasil perkalian vektor baris dengan matriks
Mahasiswa menentukan hasil pembagian dengan matriks
Mahasiswa menyebutkan jenis-jenis matriks
Mahasiswa menentukan matriks elementer

PENYAJIAN
Uraian
Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom. Sedangkan ordo suatu matriks menunjukkan banyaknya baris dan banyaknya kolom.
Matriks selalu dinotasikan/dinamai dengan huruf kapital
Bentuk umum matriks sbb. :
Amxn = (■(a_11&a_12&■(…&a_1n )@a_21&a_22&■(…&a_1n )@■(…@a_m1 )&■(…@a_m2 )&■(■(…&…)@■(…&a_mn )))) = (a_ij )
Dua matriks dikatakan sama atau A = B jika ordonya sama dan aij = bij i,j
Operasi Matriks
Operasi Penjumlahan
Syarat 2 matriks dapat dijumlahkan adalah mempunyai ordo yang sama
Jika A = 〖(a〗_ij) dan B = 〖(b〗_ij), maka A + B = (a_ij+b_ij)
Contoh :
A = (■(1&5@3&7@6&2)) , B = (■(-1&3@8&-2@4&2)) maka A+B = (■(0&8@11&5@10&4))
Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika A = 〖(a〗_ij) dan k R, maka kA = 〖(ka〗_ij)
Contoh :
A = (■(1&5@3&7@6&2)) dan k = 3, maka kA = 3(■(1&5@3&7@6&2)) = (■(3&15@9&21@18&6))
Beberapa Hukum pada penjumlahan dan perkalian skalar, jika A, B dan C adalah matriks berordo sama, dan k skalar maka:
A+B = B+A (Komutatif)
(A+B)+C = A+(B+C) (Assosiatif)
k(A+B) = kA + kB (Distributif)
Perkalian 2 Matriks
Syarat 2 matriks dapat dikalikan adalah banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
Jika Apxq = 〖(a〗_ij) dan Bqxr = 〖(b〗_ij) maka AxB = Cpxr = 〖(c〗_ij)
dengan c_ij= ∑_(k=1)^q▒〖a_ik b_kj 〗
Contoh :
A = (■(1&5@3&7@6&2)) dan B = (■(2&1@5&2)) maka AxB = (■(27&11@41&17@22&10))
Sifat-sifat yang berlaku pada perkalian matriks, jika A,B, C adalah matriks yang memenuhi syarat perkalian matriks, adalah:

AB ≠ BA (tidak memenuhi sifat komutatif)
A(B+C) = AB+AC (sifat distributif)
A(BC) = (AB)C (assosiatif)
Jika AB=AC belum tentu B=C
Transpose dari suatu matriks
Suatu matriks A=[a_ij ] berordo mxn maka transpose dari A adalah matriks AT berordo nxm yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT. AT=[a_ji ]
Contoh:
A= [■(2&4@3&5@4&7)] Maka AT= [■(2&3&4@4&5&7)]

B=[■(2@3@4)] Maka BT= [■(2&3&4)]
Beberapa sifat matriks transpose:
(A+B)T = AT+BT
(AT)T = A
k(A)T=(kAT) ; k adalah skalar
(AB)T= BTAT
Jenis-Jenis Matriks
Matriks baris yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris saja atau matriks yang berordo 1xm.
Matriks kolom yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 kolom saja atau matriks yang berordo mx1.
Matriks nol adalah matriks yang a_ij = 0 , i,j
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai ordo mxm
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , ij
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , ij
Matriks diagonal adalah matriks yang a_ij = 0 , i≠j
Matriks skalar adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , i≠j dan a_ij = c , cR i=j
Matriks identitas adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , i≠j dan a_ij = 1, i=j
Transpos dari suatu matriks A (=At) adalah matriks yang a_ij = a_ji
Matriks simetri adalah matriks persegi yang A = At
Matriks skew simetri adalah matriks persegi yang A = – At.
Masih banyak lagi jenis-jenis matriks yang akan kita pelajari pada bagian selanjutnya.
Sifat- Sifat Matriks
Dengan bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka akan berlalu sifat-sifat operasi matriks sbb. :
A + B = B + A
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
A ( BC) = ( AB ) C
A ( B + C ) = AB + AC
( B + C ) A = BA + CA
A ( B – C ) = AB – AC
( B – C ) A = BA – CA
k ( B + C ) = kB + kC
k ( B – C ) = kB – kC
( k + l ) C = kC + lC
( k – l ) C = kC – lC
( kl ) C = k ( lC )
k ( BC ) = ( kB ) C = B ( kC )
A + 0 = A
A – A = 0
0 – A = -A
A x 0 = 0
Matriks Invers
Jika A sembarang matriks persegi dan jika ada B pmatriks persegi sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan invertible ( dapat dibalik) atau non singular ( mempunyai invers ) dan B merupakan invers dari A dan diberi notasi A-1 ( B=A-1).
Contoh :
A = (■(3&5@1&2)) maka A-1 = (■(2&-5@-1&3)) karena AA-1 = (■(3&5@1&2))(■(2&-5@-1&3)) = (■(1&0@0&1))
Tidak setiap matriks persegi mempunyai invers.
Contoh :
A = (■(2&6@1&3)), tidak ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I

Teorema
Jika A invertible, maka invers matriks A adalah tunggal.
Bukti :
Misal B dan C keduanya invers dari matriks A. Akan dibuktikan bahwa B=C
Karena B invers dari A maka BA = I. Jika kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan akan diperoleh ( BA ) C = IC = C. Padahal menurut sifat assosiatif matriks dan C juga invers dari A maka diperoleh juga (BA)C = B(AC) = BI = B. Jadi B = C.
Teorema
Jika A dan B adalah matriks-matriks invertible dan ukurannya sama, maka :
AB dapat dibalik
(AB)-1 = B-1A-1
Bukti :
Jika dapat membuktikan bahwa (AB)(B-1A-1) = I maka kita sekaligus membuktikan kedua pernyataan di atas.
Misal A-1 adalah invers dari matriks A dan B-1 adalah invers dari matriks B maka :
(AB)(B-1A-1) = A(BB-1) A-1 = AIA-1 = AA-1 = I
Jadi AB invertible dan (AB)-1 = B-1A-1.
Teorema
Jika A invertible, maka :
A-1 invertible dan (A-1)-1 = A
An invertible dan (An)-1 = (A-1)n
Untuk k ≠0, kR maka kA invertible dan (kA)-1 = 1/k A-1
Bukti :
A invertible maka AA-1 = I = A-1A
Jadi A-1 invertible dan (A-1)-1 = A
Akan dibuktikan bahwa (An) (A-1)n = I
Menurut definisi diperoleh :
( A.A. … A ) ( A-1.A-1. … A-1)
= ( A.A. … A ) (AA-1) ( A-1.A-1. … A-1)
= ( A.A. … A ) I ( A-1.A-1. … A-1)
= ( A.A. … A ) ( A-1.A-1. … A-1)  sebanyak n-1 unsur, dst. diperoleh
= I
Jadi An invertible dan (An)-1 = (A-1)n
Akan dibuktikan bahwa (kA)-1 ( 1/k A-1) = I
(kA)-1 ( 1/k A-1) = 1/k (kA) A-1 = (1/k.k) AA-1 = I
Jadi kA invertible dan (kA)-1 = 1/k A-1
Matriks Elementer Dan Metode Untuk Mencari A-1
Pada bagian ini, kita akan membahas tentang matriks elementer dan cara untuk mencari invers suatu matriks dengan menggunakan operasi baris elementer.
Definisi
Misalkan A matriks persegi berordo nxn.
A disebut matriks elementer jika matriks A diperoleh dari matriks identitas Inxn dengan melakukan satu kali operasi baris elementer.
Contoh :
A = (■(1&0@0&2)) adalah matriks elementer yang diperoleh dari I2x2 dengan melakukan R2(2)
B = (■(0&1@3&0)) bukan matriks emenenter karena I2x2 dikenai 2 kali OBE yaitu R12 dan R2(3)
Teorema
Jika matriks elementer E dihasilkan dari melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah sebuah matriks mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama dilakukan pada A.
Bukti :
Misal I = (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R13 (■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) = E
Misal A = (■(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )) R13 (■(a_31&a_32&a_33@a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) = A1
EA = (■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) (■(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )) = (■(a_31&a_32&a_33@a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) = A1
Analog untuk OBE yang lain.
Pernyataan :
Jika sebuah operasi baris elementer dikenakan pada sebuah matriks identitas untuk menghasilkan matriks elementer E, maka ada operasi baris kedua yang jika dikenakan pada matriks elementer E akan menghasilkan kembali I. Operasi kedua tersebut dinamakan operasi invers dari operasi yang pertama, sbb. :

I R_ij/ E R_ij/ I
I R_(i(k))/ E R_(i(1/k))/ I
I R_(ij(k))/ E R_(ij(-k))/ I
Contoh :
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R13 (■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) R13 (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R2(3) (■(1&0&0@0&3&0@0&0&1)) R2(1/3) (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R23(2) (■(1&0&0@0&1&2@0&0&1)) R23(-2) (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))

Teorema
Tiap-tiap matriks elementer invertible dan inversnya juga sebuah matriks elementer.
Bukti :
I ((OBE))/ E
I (OBE)invers/ E0 ((OBE))/ I
Menurut teorema 5 maka diperoleh :
EE0 = I dan E0E = I
Jadi Matriks elementer E invertible dan E0 merupakan invers dari E.
Teorema
Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen:
A invertible
AX = 0 hanya mempunyai satu penyelesaian trivial
A ekivalen baris kepada In
Bukti :
a  b Diketahui : A invertible, maka A mempunyai invers yaitu A-1.
Misalkan SPL homogen AX = 0 mempunyai penyelesaian yaitu X0, maka
AX0 = 0, jika kedua ruas dikalikan dengan A-1 dari kiri maka diperoleh :
A-1AX0 = A-10, sehingga X0 = 0.
Jadi SPLH AX = 0 hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu trivial.

b  c Diketahui : AX = 0 hanya mempunyai satu penyelesaian trivial.
Maka augmented matriks dari SPLH tersebut adalah (■(a_11&a_12&■(…&a_1n&0)@a_21&a_22&■(…&a_2n&0)@■(⋮@a_m1 )&■(⋮@a_m2 )&■(■(⋱@…)&■(⋮@a_mn )&■(⋮@0))))
Karena hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu trivial, maka bentuk matriks eselon
tereduksinya adalah sbb. : (■(1&0&■(…&0&0)@0&1&■(…&0&0)@■(⋮@0)&■(⋮@0)&■(■(⋱@…)&■(⋮@1)&■(⋮@0)))). Jadi A ekivalen dengan In

c  a Diketahui : A ekivalen baris kepada In
A 〖OBE〗_((1))/E_1 A_1 〖OBE〗_((2))/E_2 A_(2 ) 〖OBE〗_((3))/E_3 A_3 … 〖OBE〗_((k))/E_k A_k = I_n
Menurut teorema 5 diperoleh :
E1 A = A1 Jika disubstitusikan masing-masing, akan diperoleh
E2 A1 = A2 E2 E1 A = A2
E3 A2 = A3 E3 E2 E1 A = A3
… …
Ek Ak-1 = Ak = In Ek Ek-1 … E2 E1 A = Ak = In
Jadi
Ek Ek-1 … E2 E1 A = In sehinggan A invertible dan A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1
Dari pembuktian ini, kita dapat mengubah matriks A menjadi perkalian matriks-matriks elementer yaitu :
A = (A-1)-1 = E1-1 E2-1 … Ek-1
Dari proses pembuktian di atas, kita juga dapat menggunakannya untuk mencari invers dari suatu matriks Anxn.
Contoh :
Carilah invers dari :
A = (■(1&0&1@0&1&1@1&1&0)) 2. B = (■(3&1&5@2&4&1@-4&2&-9))
Jawab :
(■(1&0&1@0&1&1@1&1&0) “” ■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R_(31(-1))/ (■(1&0&1@0&1&1@0&1&-1) “” ■(1&0&0@0&1&0@-1&0&1)) R_(32(-1))/
(■(1&0&1@0&1&1@0&0&-2) “” ■(1&0&0@0&1&0@-1&-1&1)) R_(3(-1/2))/ (■(1&0&1@0&1&1@0&0&1) “” ■(1&0&0@0&1&0@1/2&1/2&-1/2)) R_(13(-1))/R_(23(-1))
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1) “” -■(1/2&-1/2&1/2@1/2&1/2&1/2@1/2&1/2&-1/2))  (I “” A^(-1) )

Jadi A-1 = (-■(1/2&-1/2&1/2@1/2&1/2&1/2@1/2&1/2&-1/2))
B = (■(3&1&5@2&4&1@-4&2&-9)” ” ■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R_(12(-1))/ (■(1&-3&4@2&4&1@-4&2&-9)” ” ■(1&-1&0@0&1&0@0&0&1)) R_(21(-2))/R_(31(4))
(■(1&-3&4@0&10&-7@0&-10&7)” ” ■(1&-1&0@-2&3&0@4&-4&1)) R_(32(1))/ (■(1&-3&4@0&10&-7@0&0&0)” ” ■(1&-1&0@-2&3&0@2&1&1))
Kita lihat baris ketiga matriks sebelah kiri adalah baris nol, maka kita dapat menyimpulkan bahwa matriks B tidak ekivalen barir dengan matriks Identitas, maka menurut teorema matriks B tersebut tidak mempunyai invers.
Penggunaan Invers Pada Spl
Jika matriks A(nxn) dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B(nx1) pada SPL Ax = B mempunyai tepat satu penyelesaian yaitu x = A-1.B
Contoh
Selesikan SPL berikut : x1 + 2×2 + 3×3 = 5
2×1 + 5×2 + 3×3 = 3
x1 + 8×3 = 17
Penyelesaian SPL tersebut diubah menjadi : atau AX = B,
kemudian akan dicari sebagai berikut :
menjadi
menjadi

Jadi penyelesaian SPL : X = A-1.B
jadi
SPL AX = B dimana A tidak dapat dibalik maka agar SPL tersebut konsisten, harus direduksi matriks diperbesar tersebut menjadi bentuk matriks eselon baris dengan cara OBE. Kemudian kita tentukan matriks B agar SPL konsisten.
Contoh:
Tentukan b1, b2, b3 agar SPL konsisten, jika : x1 + x2 + 2×3 = b1
x1 + x3 = b2
2×1 + x2 + 3×3 = b3
J a w a b :
Penyelesaian SPL dalam matriks :
sehingga (A│B)

Jadi SPL akan konsisten jika : – b1 – b2 + b3 = 0 atau
b3 = b1 + b2

Latihan
SOAL MATRIKS

Diketahui matriks A dan B berordo 3×3
dan
Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z.
Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2×2
dan Jika , tentukan .
Ditentukan matriks-matriks , carilah matriks
2A b. -2B c. (A +B) d. (5A-2B)t
Jika H adalah matriks berordo 3×3, tentukan matriks H dari persamaan berikut:

Tentukan hasil perkalian matriks berikut:

Ditentukan matriks-matriks , dan . Carilah matriks

Selesaikan setiap persamaan berikut:
b.
Ditentukan matriks . Carilah matriks .
Carilah 3A2 + 2A – 3I2, bila A =
Tunjukkan bahwa A adalah matrik idempoten, A =

Matriks A = Tentukan Nilai dari A-1
Carilah invers dari A =

Diketahui A = , matrik B dihasilkan dari sederetan transformasi elementer H ,H , H , K , K terhadap A. Carilah B tersebut.
Cari solusi dari persamaan linier berikut ini :
x1 + 2×2 + 3×3 = 5
2×1 + 5×2 + 3×3 = 3
x1 + + 8×3 = 17
Pecahkan persamaan matrik untuk X dalam masing – masing bagian berikut :
a. X =
b. X =

PENUTUP
Tes Formatif dan Kunci Jawaban
Diketahui matriks
Berapa ukuran P? Tentukan yang mana :
Baris 1, baris 3, kolom 2, kolom 4, kolom 4, baris 4.
P11, P31, P33, P15, P35
Penyelesaian :
Ukuran P =
Baris 1 : 3 -1 9 7 11, baris 3 : 3 7 3 5 – 1
Kolom 2 : , kolom 4 : , baris 4 tidak ada
P11 = 3, P31 = 3, P33 = 3, P15 = 11, P35 = -1
Diketahui : =
Carilah x1, x2, x3, dan x4
Penyelesaian :
Menurut kesamaan matriks maka :
x1 = 4, x3 + 1 = 4 x3 = 3
x2 + 3 = 5 x2 = 2, x4 = 6 x4 = 12
3. Misalkan menyatakan ukuran matriks. Cari hasil perkalian (kalau terdefinisi) dari ukuran ukuran berikut.

;

Penyelesaian :
Kita ingat syaratnya kalau matriks dikalikan dengan matriks , maka q harus = r, dan matriks hasil perkalian berukuran

Carilah AB dan BA bila :
A = 2 1), B =
A = , B =
Penyelesaian :
Ukuran A = , ukuran B = , jadi : kita dapat ukuran AB = .
AB =
= ( 2 . 1 + 1 . 4 2 . -2 + 1 . 5 2 . 0 + 1 . -3)
= ( 6 1 -3)
BA tak terdefinisi karena .
Ukuran A = ; B = , jadi AB : terdefinisi dengan ukuran .
AB =
=
=
BA tak terdefinisi karena (2 x 3 )(2 x 2)

Diketahui ,
Tentukan :
3A, 2B, 3A-B, 2B-A
(3A – B)(2B – A)
Penyelesaian :
3A = 3 =
2B = 2 =
3A – B = -
=
2B – A = -
=
(3A – B) (2B – A) terdefinisi dengan ukuran
(3A – B) (2B –A) =
=
Selidiki bahwa AB BA untuk A =
B =
Penyelesaian :
AB =
=
=
Sedangkan BA =
=
=
Jelas AB BA.

Matriks A = , B = , carilah matriks P sedemikian sehingga AP = B
Penyelesaian :
Ukuran P harus dan kita misalkan :
P = maka
dan kita kalikan :

Sehingga diperoleh persamaan : p1 + 3p3 = 5
p1 + 2p3 = 14
p2 + 3p4 = 13
p2 + 2p4 = 10
Dengan penyelesaian persamaan – persamaan di atas diperoleh p1 = 2; p2 = 4; p3 = 1; p4 = 3.
Jadi matriks P =
Carilah 3A2 + 2A – 3I2, bila A =
Penyelesaian :
3A2 = 3 , = 3 =
2A = 2 dan 3I2 = 3
=
Maka 3A2 + 2A – 3I2 =
=
Carilah AT, bila A :
;

Penyelesaian :

Tunjukkan bahwa A adalah matriks idempotent,
A =
Penyelesaian :
Harus ditunjukkan bahwa A2 = A . A = A,
A . A =
= = 4

About these ads
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s