BAHAN AJAR BAB 1 MATRIKS

BAHAN AJAR MATERI MATRIKS
ALJABAR LINEAR 1

TINJAUAN MATA KULIAH
Deskripsi Mata Kuliah
Mata kuliah ini mempelajari tentang definisi matriks, hasil penjumlahan matriks, hasil perkalian matriks, hasil perkalian matriks dengan vektor kolom, hasil perkalian vektor baris dengan matriks, hasil pembagian dengan matriks, bentuk umum SPL, matriks yang diperbesar dari SPL, matrik elementer, HP dengan operasi baris Elementer, HP SPL dengan Eliminasi Gauss, HP dari SPL homogen, fungsi determinan, sifat-sifat determinan, menghitung determinan dengan reduksi baris, ekspansi minor dan kofaktor, aturan cremer.

Manfaat Mata Kuliah
Mahasiswa dapat menerapkan ilmu aljabar linear dalam kehidupan sehari-hari dan dapat diaplikasikan dalam pekerjaannya, sesuai bidang ilmunya yaitu sebagai tenaga pendidik.

Standar Kompetensi
Mahasiswa mampu menguasai konsep-konsep aljabar linear dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan linearnya.

Kompetensi Dasar
Menentukan definisi matrik
Menentukan HP Sistem Persaman Linier
Menentukan Determinan

BAB I
MATRIKS

PENDAHULUAN
Cakupan umum mengenai bab 1
Bab 1 ini akan membahas tentang materi Matriks
Deskripsi singkat
Mata kuliah ini mempelajari tentang definisi matriks, hasil penjumlahan matriks,
hasil perkalian matriks, hasil perkalian matriks dengan vektor kolom, hasil perkalian vektor baris dengan matriks, hasil pembagian dengan matriks, jenis-jenis matriks dan matriks elementer.
Relevansi
Mahasiswa dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan linearnya.
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa menyebutkan definisi matriks
Mahasiswa menentukan hasil penjumlahan matriks
Mahasiswa menentukan hasil perkalian matriks
Mahasiswa menentukan hasil perkalian matriks dengan vektor kolom
Mahasiswa menentukan hasil perkalian vektor baris dengan matriks
Mahasiswa menentukan hasil pembagian dengan matriks
Mahasiswa menyebutkan jenis-jenis matriks
Mahasiswa menentukan matriks elementer

PENYAJIAN
Uraian
Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom. Sedangkan ordo suatu matriks menunjukkan banyaknya baris dan banyaknya kolom.
Matriks selalu dinotasikan/dinamai dengan huruf kapital
Bentuk umum matriks sbb. :
Amxn = (■(a_11&a_12&■(…&a_1n )@a_21&a_22&■(…&a_1n )@■(…@a_m1 )&■(…@a_m2 )&■(■(…&…)@■(…&a_mn )))) = (a_ij )
Dua matriks dikatakan sama atau A = B jika ordonya sama dan aij = bij i,j
Operasi Matriks
Operasi Penjumlahan
Syarat 2 matriks dapat dijumlahkan adalah mempunyai ordo yang sama
Jika A = 〖(a〗_ij) dan B = 〖(b〗_ij), maka A + B = (a_ij+b_ij)
Contoh :
A = (■(1&5@3&7@6&2)) , B = (■(-1&3@8&-2@4&2)) maka A+B = (■(0&8@11&5@10&4))
Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika A = 〖(a〗_ij) dan k R, maka kA = 〖(ka〗_ij)
Contoh :
A = (■(1&5@3&7@6&2)) dan k = 3, maka kA = 3(■(1&5@3&7@6&2)) = (■(3&15@9&21@18&6))
Beberapa Hukum pada penjumlahan dan perkalian skalar, jika A, B dan C adalah matriks berordo sama, dan k skalar maka:
A+B = B+A (Komutatif)
(A+B)+C = A+(B+C) (Assosiatif)
k(A+B) = kA + kB (Distributif)
Perkalian 2 Matriks
Syarat 2 matriks dapat dikalikan adalah banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
Jika Apxq = 〖(a〗_ij) dan Bqxr = 〖(b〗_ij) maka AxB = Cpxr = 〖(c〗_ij)
dengan c_ij= ∑_(k=1)^q▒〖a_ik b_kj 〗
Contoh :
A = (■(1&5@3&7@6&2)) dan B = (■(2&1@5&2)) maka AxB = (■(27&11@41&17@22&10))
Sifat-sifat yang berlaku pada perkalian matriks, jika A,B, C adalah matriks yang memenuhi syarat perkalian matriks, adalah:

AB ≠ BA (tidak memenuhi sifat komutatif)
A(B+C) = AB+AC (sifat distributif)
A(BC) = (AB)C (assosiatif)
Jika AB=AC belum tentu B=C
Transpose dari suatu matriks
Suatu matriks A=[a_ij ] berordo mxn maka transpose dari A adalah matriks AT berordo nxm yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT. AT=[a_ji ]
Contoh:
A= [■(2&4@3&5@4&7)] Maka AT= [■(2&3&4@4&5&7)]

B=[■(2@3@4)] Maka BT= [■(2&3&4)]
Beberapa sifat matriks transpose:
(A+B)T = AT+BT
(AT)T = A
k(A)T=(kAT) ; k adalah skalar
(AB)T= BTAT
Jenis-Jenis Matriks
Matriks baris yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris saja atau matriks yang berordo 1xm.
Matriks kolom yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 kolom saja atau matriks yang berordo mx1.
Matriks nol adalah matriks yang a_ij = 0 , i,j
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai ordo mxm
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , ij
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , ij
Matriks diagonal adalah matriks yang a_ij = 0 , i≠j
Matriks skalar adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , i≠j dan a_ij = c , cR i=j
Matriks identitas adalah matriks persegi yang a_ij = 0 , i≠j dan a_ij = 1, i=j
Transpos dari suatu matriks A (=At) adalah matriks yang a_ij = a_ji
Matriks simetri adalah matriks persegi yang A = At
Matriks skew simetri adalah matriks persegi yang A = – At.
Masih banyak lagi jenis-jenis matriks yang akan kita pelajari pada bagian selanjutnya.
Sifat- Sifat Matriks
Dengan bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka akan berlalu sifat-sifat operasi matriks sbb. :
A + B = B + A
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
A ( BC) = ( AB ) C
A ( B + C ) = AB + AC
( B + C ) A = BA + CA
A ( B – C ) = AB – AC
( B – C ) A = BA – CA
k ( B + C ) = kB + kC
k ( B – C ) = kB – kC
( k + l ) C = kC + lC
( k – l ) C = kC – lC
( kl ) C = k ( lC )
k ( BC ) = ( kB ) C = B ( kC )
A + 0 = A
A – A = 0
0 – A = -A
A x 0 = 0
Matriks Invers
Jika A sembarang matriks persegi dan jika ada B pmatriks persegi sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan invertible ( dapat dibalik) atau non singular ( mempunyai invers ) dan B merupakan invers dari A dan diberi notasi A-1 ( B=A-1).
Contoh :
A = (■(3&5@1&2)) maka A-1 = (■(2&-5@-1&3)) karena AA-1 = (■(3&5@1&2))(■(2&-5@-1&3)) = (■(1&0@0&1))
Tidak setiap matriks persegi mempunyai invers.
Contoh :
A = (■(2&6@1&3)), tidak ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I

Teorema
Jika A invertible, maka invers matriks A adalah tunggal.
Bukti :
Misal B dan C keduanya invers dari matriks A. Akan dibuktikan bahwa B=C
Karena B invers dari A maka BA = I. Jika kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan akan diperoleh ( BA ) C = IC = C. Padahal menurut sifat assosiatif matriks dan C juga invers dari A maka diperoleh juga (BA)C = B(AC) = BI = B. Jadi B = C.
Teorema
Jika A dan B adalah matriks-matriks invertible dan ukurannya sama, maka :
AB dapat dibalik
(AB)-1 = B-1A-1
Bukti :
Jika dapat membuktikan bahwa (AB)(B-1A-1) = I maka kita sekaligus membuktikan kedua pernyataan di atas.
Misal A-1 adalah invers dari matriks A dan B-1 adalah invers dari matriks B maka :
(AB)(B-1A-1) = A(BB-1) A-1 = AIA-1 = AA-1 = I
Jadi AB invertible dan (AB)-1 = B-1A-1.
Teorema
Jika A invertible, maka :
A-1 invertible dan (A-1)-1 = A
An invertible dan (An)-1 = (A-1)n
Untuk k ≠0, kR maka kA invertible dan (kA)-1 = 1/k A-1
Bukti :
A invertible maka AA-1 = I = A-1A
Jadi A-1 invertible dan (A-1)-1 = A
Akan dibuktikan bahwa (An) (A-1)n = I
Menurut definisi diperoleh :
( A.A. … A ) ( A-1.A-1. … A-1)
= ( A.A. … A ) (AA-1) ( A-1.A-1. … A-1)
= ( A.A. … A ) I ( A-1.A-1. … A-1)
= ( A.A. … A ) ( A-1.A-1. … A-1)  sebanyak n-1 unsur, dst. diperoleh
= I
Jadi An invertible dan (An)-1 = (A-1)n
Akan dibuktikan bahwa (kA)-1 ( 1/k A-1) = I
(kA)-1 ( 1/k A-1) = 1/k (kA) A-1 = (1/k.k) AA-1 = I
Jadi kA invertible dan (kA)-1 = 1/k A-1
Matriks Elementer Dan Metode Untuk Mencari A-1
Pada bagian ini, kita akan membahas tentang matriks elementer dan cara untuk mencari invers suatu matriks dengan menggunakan operasi baris elementer.
Definisi
Misalkan A matriks persegi berordo nxn.
A disebut matriks elementer jika matriks A diperoleh dari matriks identitas Inxn dengan melakukan satu kali operasi baris elementer.
Contoh :
A = (■(1&0@0&2)) adalah matriks elementer yang diperoleh dari I2x2 dengan melakukan R2(2)
B = (■(0&1@3&0)) bukan matriks emenenter karena I2x2 dikenai 2 kali OBE yaitu R12 dan R2(3)
Teorema
Jika matriks elementer E dihasilkan dari melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah sebuah matriks mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama dilakukan pada A.
Bukti :
Misal I = (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R13 (■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) = E
Misal A = (■(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )) R13 (■(a_31&a_32&a_33@a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) = A1
EA = (■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) (■(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )) = (■(a_31&a_32&a_33@a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) = A1
Analog untuk OBE yang lain.
Pernyataan :
Jika sebuah operasi baris elementer dikenakan pada sebuah matriks identitas untuk menghasilkan matriks elementer E, maka ada operasi baris kedua yang jika dikenakan pada matriks elementer E akan menghasilkan kembali I. Operasi kedua tersebut dinamakan operasi invers dari operasi yang pertama, sbb. :

I R_ij/ E R_ij/ I
I R_(i(k))/ E R_(i(1/k))/ I
I R_(ij(k))/ E R_(ij(-k))/ I
Contoh :
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R13 (■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) R13 (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R2(3) (■(1&0&0@0&3&0@0&0&1)) R2(1/3) (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R23(2) (■(1&0&0@0&1&2@0&0&1)) R23(-2) (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))

Teorema
Tiap-tiap matriks elementer invertible dan inversnya juga sebuah matriks elementer.
Bukti :
I ((OBE))/ E
I (OBE)invers/ E0 ((OBE))/ I
Menurut teorema 5 maka diperoleh :
EE0 = I dan E0E = I
Jadi Matriks elementer E invertible dan E0 merupakan invers dari E.
Teorema
Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen:
A invertible
AX = 0 hanya mempunyai satu penyelesaian trivial
A ekivalen baris kepada In
Bukti :
a  b Diketahui : A invertible, maka A mempunyai invers yaitu A-1.
Misalkan SPL homogen AX = 0 mempunyai penyelesaian yaitu X0, maka
AX0 = 0, jika kedua ruas dikalikan dengan A-1 dari kiri maka diperoleh :
A-1AX0 = A-10, sehingga X0 = 0.
Jadi SPLH AX = 0 hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu trivial.

b  c Diketahui : AX = 0 hanya mempunyai satu penyelesaian trivial.
Maka augmented matriks dari SPLH tersebut adalah (■(a_11&a_12&■(…&a_1n&0)@a_21&a_22&■(…&a_2n&0)@■(⋮@a_m1 )&■(⋮@a_m2 )&■(■(⋱@…)&■(⋮@a_mn )&■(⋮@0))))
Karena hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu trivial, maka bentuk matriks eselon
tereduksinya adalah sbb. : (■(1&0&■(…&0&0)@0&1&■(…&0&0)@■(⋮@0)&■(⋮@0)&■(■(⋱@…)&■(⋮@1)&■(⋮@0)))). Jadi A ekivalen dengan In

c  a Diketahui : A ekivalen baris kepada In
A 〖OBE〗_((1))/E_1 A_1 〖OBE〗_((2))/E_2 A_(2 ) 〖OBE〗_((3))/E_3 A_3 … 〖OBE〗_((k))/E_k A_k = I_n
Menurut teorema 5 diperoleh :
E1 A = A1 Jika disubstitusikan masing-masing, akan diperoleh
E2 A1 = A2 E2 E1 A = A2
E3 A2 = A3 E3 E2 E1 A = A3
… …
Ek Ak-1 = Ak = In Ek Ek-1 … E2 E1 A = Ak = In
Jadi
Ek Ek-1 … E2 E1 A = In sehinggan A invertible dan A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1
Dari pembuktian ini, kita dapat mengubah matriks A menjadi perkalian matriks-matriks elementer yaitu :
A = (A-1)-1 = E1-1 E2-1 … Ek-1
Dari proses pembuktian di atas, kita juga dapat menggunakannya untuk mencari invers dari suatu matriks Anxn.
Contoh :
Carilah invers dari :
A = (■(1&0&1@0&1&1@1&1&0)) 2. B = (■(3&1&5@2&4&1@-4&2&-9))
Jawab :
(■(1&0&1@0&1&1@1&1&0) “” ■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R_(31(-1))/ (■(1&0&1@0&1&1@0&1&-1) “” ■(1&0&0@0&1&0@-1&0&1)) R_(32(-1))/
(■(1&0&1@0&1&1@0&0&-2) “” ■(1&0&0@0&1&0@-1&-1&1)) R_(3(-1/2))/ (■(1&0&1@0&1&1@0&0&1) “” ■(1&0&0@0&1&0@1/2&1/2&-1/2)) R_(13(-1))/R_(23(-1))
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1) “” -■(1/2&-1/2&1/2@1/2&1/2&1/2@1/2&1/2&-1/2))  (I “” A^(-1) )

Jadi A-1 = (-■(1/2&-1/2&1/2@1/2&1/2&1/2@1/2&1/2&-1/2))
B = (■(3&1&5@2&4&1@-4&2&-9)” ” ■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) R_(12(-1))/ (■(1&-3&4@2&4&1@-4&2&-9)” ” ■(1&-1&0@0&1&0@0&0&1)) R_(21(-2))/R_(31(4))
(■(1&-3&4@0&10&-7@0&-10&7)” ” ■(1&-1&0@-2&3&0@4&-4&1)) R_(32(1))/ (■(1&-3&4@0&10&-7@0&0&0)” ” ■(1&-1&0@-2&3&0@2&1&1))
Kita lihat baris ketiga matriks sebelah kiri adalah baris nol, maka kita dapat menyimpulkan bahwa matriks B tidak ekivalen barir dengan matriks Identitas, maka menurut teorema matriks B tersebut tidak mempunyai invers.
Penggunaan Invers Pada Spl
Jika matriks A(nxn) dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B(nx1) pada SPL Ax = B mempunyai tepat satu penyelesaian yaitu x = A-1.B
Contoh
Selesikan SPL berikut : x1 + 2×2 + 3×3 = 5
2×1 + 5×2 + 3×3 = 3
x1 + 8×3 = 17
Penyelesaian SPL tersebut diubah menjadi : atau AX = B,
kemudian akan dicari sebagai berikut :
menjadi
menjadi

Jadi penyelesaian SPL : X = A-1.B
jadi
SPL AX = B dimana A tidak dapat dibalik maka agar SPL tersebut konsisten, harus direduksi matriks diperbesar tersebut menjadi bentuk matriks eselon baris dengan cara OBE. Kemudian kita tentukan matriks B agar SPL konsisten.
Contoh:
Tentukan b1, b2, b3 agar SPL konsisten, jika : x1 + x2 + 2×3 = b1
x1 + x3 = b2
2×1 + x2 + 3×3 = b3
J a w a b :
Penyelesaian SPL dalam matriks :
sehingga (A│B)

Jadi SPL akan konsisten jika : – b1 – b2 + b3 = 0 atau
b3 = b1 + b2

Latihan
SOAL MATRIKS

Diketahui matriks A dan B berordo 3×3
dan
Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z.
Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2×2
dan Jika , tentukan .
Ditentukan matriks-matriks , carilah matriks
2A b. -2B c. (A +B) d. (5A-2B)t
Jika H adalah matriks berordo 3×3, tentukan matriks H dari persamaan berikut:

Tentukan hasil perkalian matriks berikut:

Ditentukan matriks-matriks , dan . Carilah matriks

Selesaikan setiap persamaan berikut:
b.
Ditentukan matriks . Carilah matriks .
Carilah 3A2 + 2A – 3I2, bila A =
Tunjukkan bahwa A adalah matrik idempoten, A =

Matriks A = Tentukan Nilai dari A-1
Carilah invers dari A =

Diketahui A = , matrik B dihasilkan dari sederetan transformasi elementer H ,H , H , K , K terhadap A. Carilah B tersebut.
Cari solusi dari persamaan linier berikut ini :
x1 + 2×2 + 3×3 = 5
2×1 + 5×2 + 3×3 = 3
x1 + + 8×3 = 17
Pecahkan persamaan matrik untuk X dalam masing – masing bagian berikut :
a. X =
b. X =

PENUTUP
Tes Formatif dan Kunci Jawaban
Diketahui matriks
Berapa ukuran P? Tentukan yang mana :
Baris 1, baris 3, kolom 2, kolom 4, kolom 4, baris 4.
P11, P31, P33, P15, P35
Penyelesaian :
Ukuran P =
Baris 1 : 3 -1 9 7 11, baris 3 : 3 7 3 5 – 1
Kolom 2 : , kolom 4 : , baris 4 tidak ada
P11 = 3, P31 = 3, P33 = 3, P15 = 11, P35 = -1
Diketahui : =
Carilah x1, x2, x3, dan x4
Penyelesaian :
Menurut kesamaan matriks maka :
x1 = 4, x3 + 1 = 4 x3 = 3
x2 + 3 = 5 x2 = 2, x4 = 6 x4 = 12
3. Misalkan menyatakan ukuran matriks. Cari hasil perkalian (kalau terdefinisi) dari ukuran ukuran berikut.

;

Penyelesaian :
Kita ingat syaratnya kalau matriks dikalikan dengan matriks , maka q harus = r, dan matriks hasil perkalian berukuran

Carilah AB dan BA bila :
A = 2 1), B =
A = , B =
Penyelesaian :
Ukuran A = , ukuran B = , jadi : kita dapat ukuran AB = .
AB =
= ( 2 . 1 + 1 . 4 2 . -2 + 1 . 5 2 . 0 + 1 . -3)
= ( 6 1 -3)
BA tak terdefinisi karena .
Ukuran A = ; B = , jadi AB : terdefinisi dengan ukuran .
AB =
=
=
BA tak terdefinisi karena (2 x 3 )(2 x 2)

Diketahui ,
Tentukan :
3A, 2B, 3A-B, 2B-A
(3A – B)(2B – A)
Penyelesaian :
3A = 3 =
2B = 2 =
3A – B = –
=
2B – A = –
=
(3A – B) (2B – A) terdefinisi dengan ukuran
(3A – B) (2B –A) =
=
Selidiki bahwa AB BA untuk A =
B =
Penyelesaian :
AB =
=
=
Sedangkan BA =
=
=
Jelas AB BA.

Matriks A = , B = , carilah matriks P sedemikian sehingga AP = B
Penyelesaian :
Ukuran P harus dan kita misalkan :
P = maka
dan kita kalikan :

Sehingga diperoleh persamaan : p1 + 3p3 = 5
p1 + 2p3 = 14
p2 + 3p4 = 13
p2 + 2p4 = 10
Dengan penyelesaian persamaan – persamaan di atas diperoleh p1 = 2; p2 = 4; p3 = 1; p4 = 3.
Jadi matriks P =
Carilah 3A2 + 2A – 3I2, bila A =
Penyelesaian :
3A2 = 3 , = 3 =
2A = 2 dan 3I2 = 3
=
Maka 3A2 + 2A – 3I2 =
=
Carilah AT, bila A :
;

Penyelesaian :

Tunjukkan bahwa A adalah matriks idempotent,
A =
Penyelesaian :
Harus ditunjukkan bahwa A2 = A . A = A,
A . A =
= = 4

Posted in Uncategorized | Leave a comment

Kontrak Kuliah

KONTRAK KULIAH

Nama Mata Kuliah : ALJABAR LINEAR 1
Kode Mata Kuliah :
Pengajar : Dina Prasetyowati, S.Pd., M.Pd.
Fakultas / Prodi : FPMIPA / Pendidikan Matematika
Semester : II (dua)

A. Manfaat Mata Kuliah
Mahasiswa dapat menerapkan ilmu aljabar linear dalam kehidupan sehari-hari dan dapat diaplikasikan dalam pekerjaannya, sesuai bidang ilmunya yaitu sebagai tenaga pendidik.

B. Deskripsi Mata Kuliah
Mata kuliah ini mempelajari tentang definisi matriks, hasil penjumlahan matriks, hasil perkalian matriks, hasil perkalian matriks dengan vektor kolom, hasil perkalian vektor baris dengan matriks, hasil pembagian dengan matriks, bentuk umum SPL, matriks yang diperbesar dari SPL, matrik elementer, HP dengan operasi baris Elementer, HP SPL dengan Eliminasi Gauss, HP dari SPL homogen, fungsi determinan, sifat-sifat determinan, menghitung determinan dengan reduksi baris, ekspansi minor dan kofaktor, aturan cremer.

C. Standar Kompetensi
Mahasiswa mampu menguasai konsep-konsep aljabar linear dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan linearnya.

D. Kompetensi Dasar
1. Menentukan definisi matrik
2. Menentukan HP Sistem Persaman Linier
3. Menentukan Determinan

E. Tujuan Perkuliahan
1. Mahasiswa menyebutkan definisi matriks
2. Mahasiswa menentukan hasil penjumlahan matriks
3. Mahasiswa menentukan hasil perkalian matriks
4. Mahasiswa menentukan hasil perkalian matriks dengan vektor kolom
5. Mahasiswa menentukan hasil perkalian vektor baris dengan matriks
6. Mahasiswa menentukan hasil pembagian dengan matriks
7. Mahasiswa menyatakan bentuk umum SPL
8. Mahasiswa menentukan matriks yang diperbesar dari SPL,
9. Mahasiswa menentukan matrik elementer
10. Mahasiswa menentukan HP dengan operasi baris Elementer
11. Mahasiswa menentukan HP SPL dengan Eliminasi Gauss
12. Mahasiswa menentukan HP dari SPL homogeny
13. Mahasiswa menentukan fungsi determinan
14. Mahasiswa menentukan sifat-sifat determinan
15. Mahasiswa menentukan determinan dengan reduksi baris
16. Mahasiswa menentukan ekspansi minor dan kofaktor
17. Mahasiswa menentukan HP aturan cremer

F. Organisasi Materi
Organisasi materi terlampir

G. Strategi Perkuliahan
Metode perkuliahan ini menggunakan cara kuliah tatap muka, diskusi, tanya jawab dan penugasan. Mahasiswa memiliki bekal yang cukup untuk mengikuti perkuliahan ini, maka dilakukan pre-test. Untuk meningkatkan pemahaman dan kemahiran mahasiswa, diberikan contoh soal dan penyelesaiannya yang sistematis. Selain itu penugasan penugasan perlu diberikan secara berkesinambungan dengan berbagai variasi tingkat kesulitan dan diberikan baik secara individu maupun berkelompok. Keunikan, kemandirian dan intelektualitas mahasiswa perlu dijaga dengan memberi penugasan yang berbeda untuk tiap individu atau kelompok. Sebagai wujud keaktifan mahasiswa, sangat disarankan dalam menyelesaikan penugasan mahasiswa menuliskan sumber informasi yang ia peroleh.

H. Sumber Belajar
 Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
 D. suryadi, Harini Machmudi. 1984. Teori dan Soal Pendahuluan : Aljabar Linier. Graha Indonesia. Jakarta.

I. Tugas-tugas
1. Setiap perkuliahan mahasiswa diharapkan sudah membaca bahan bacaan atau materi perkuliahan yang sudah disusun dalam bentuk bahan ajar sebelum mengikuti kuliah.
2. Setiap perkuliahan mahasiswa diharapkan aktif mengerjakan dan mendiskusikan tugas yang telah tercantum dalam setiap sub pokok bahasan.
3. Tugas mata kuliah diberikan secara periodic dalam kurun waktu satu semester, baik individual maupun kelompok.
4. Ujian Tengah Semester diadakan pada minggu ke 9 (tes tertulis), dan Ujian Akhir Semester (tes tertulis dan atau praktek) diadakan pada minggu ke 18 atau menurut jadwal yang ditetapkan oleh Jurusan/ Fakultas.

J. Kriteria Penilaian
Nilai Akhir yang diperoleh mahasiswa merupakan akumulasi dari nilai tugas, nilai UTS, dan nilai UAS, ditambahkan dengan komponen nilai lain seperti : nilai keaktifan, dan nilai sikap/ kepribadian. Kriterianya menggunakan acuan nilai patokan :

Nilai Point Range
A 4 >85
B 3 70,00 – 84, 99
C 2 60,00 – 69, 99
D 1 50,00 – 59, 99
E 0 < 50

K. Jadwal Perkuliahan
Pertemuan
ke- Topik Bahasan Bacaan
I Kontrak Kuliah dan ruang lingkup Aljabar Linear
II Pengertian dan notasi matriks  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
III Operasi Matriks  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
IV Jenis jenis matriks  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
V Invers Matriks  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
VI Matriks Elementer  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
VII Pengertian dan interpretasi geometris SPL  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
VIII Menyelesaikan SPL menggunakan eliminasi Gauss Jordan  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
IX UTS
X Mencari matriks invers dengan OBE  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XI Fungsi Determinan  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XII Sifat sifat determinan  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XIII Menentukan determinan dengan reduksi baris  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XIV Minor dan kofaktor  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XV Menghitung determinan dengan ekspansi minor dan kofaktor  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XVI Adjoint Matriks  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XVII Aturan Cramer  Anton, H., Aljabar Linear Elementer, Penerbit Erlangga Jakarta.
 Murtiyasa, B., Matriks dan Sistem Persamaan Linear. UMS
XVIII UTS

L. Tata Tertib Mengikuti Perkuliahan
1. Mahasiswa tidak diperkenankan merokok di kelas
2. Berpakaian yang rapi dan sopan (baju bertangan dan berleher)
3. Bagi yang terlambat 20 menit tidak diperbolehkan mengisi daftar kehadiran.
4. Bila lebih dari 30 menit dosen belum hadir tanpa pemberitahuan dianggap kuliah tidak ada, dan dosen harus mencari hari lain sebagai pengganti.
5. Mahasiswa yang kehadirannya kurang dari 75% tidak diperkenankan mengisi UAS.

Semarang, Maret 2013
Dosen Pengampu, Komisaris Tingkat (Komting),

Dina Prasetyowati, S.Pd., M.Pd (…………………………..)

ORGANISASI MATERI

Posted in Uncategorized | Leave a comment